Comment créer une la courbe de puissance dans Microsoft Excel

■■ Au fur et à mesure que mon entreprise produit un produit de plus en plus, elle apprend à rendre le produit plus efficace. Puis-je modéliser la relation entre les unités produites et le temps nécessaire pour produire une unité?

Une courbe de puissance est calculée avec l’équation y = axb. Dans l’équation, a et b sont des constantes. À l’aide d’une courbe de tendance, vous pouvez déterminer les valeurs de a et b qui permettent à la courbe de puissance de s’adapter au mieux au diagramme de dispersion. Dans la plupart des situations, a est supérieur à 0. Dans ce cas, la pente de la courbe de puissance dépend de la valeur de b, comme suit:

■■ Pour b> 1, y augmente à mesure que x augmente et la pente de la courbe de puissance augmente à mesure que x augmente.

■■ Pour 0 <b <1, y augmente à mesure que x augmente et la pente de la courbe de puissance diminue à mesure que x

augmente.

■■ Pour b = 1, la courbe de puissance est une ligne droite.

■■ Pour b <0, y diminue lorsque x augmente et la courbe de puissance s’aplatit lorsque x augmente.

Voici des exemples de différentes relations qui peuvent être modélisées par une courbe de puissance. Ces exemples sont contenus dans le fichier Powerexamples.xlsx.

Si vous essayez de prédire le coût de production total en fonction des unités produites, vous pouvez trouver une relation similaire à celle illustrée à la figure 1. Notez que b est égal à 2. Comme mentionné précédemment, avec cette valeur de b, le coût de production augmente avec le nombre d’unités produites. La pente devient plus raide, ce qui indique que chaque unité supplémentaire coûte plus cher à produire. Cette relation peut se produire car l’augmentation de la production nécessite plus de travail supplémentaire, ce qui coûte plus cher que le travail régulier.

FIGURE 1 Prévoyez le coût en fonction du nombre d’unités produites.

Si vous essayez de prédire les ventes en fonction des dépenses publicitaires, vous pourriez trouver une courbe similaire à celle illustrée à la figure 2.

FIGURE 2 Le graphique montre les ventes en fonction de la publicité.

Ici, b est égal à 0,5, ce qui est compris entre 0 et 1. Lorsque b a une valeur dans cette plage, les ventes augmentent avec une augmentation de la publicité mais à un rythme décroissant. Ainsi, la courbe de puissance vous permet de modéliser l’idée d’un rendement décroissant – que chaque dollar supplémentaire dépensé en publicité fournira moins d’avantages.

Si vous essayez de prévoir le temps nécessaire pour produire la dernière unité d’un produit en fonction de la nombre d’unités produites à ce jour, vous trouverez souvent un nuage de points similaire à celui illustré à la figure 3.

Ici, vous trouvez que b est égal à –0,1. Parce que b est inférieur à 0, le temps nécessaire pour produire chaque unité diminue, mais le taux de diminution – c’est-à-dire le taux d’apprentissage – ralentit. Cette relation signifie qu’au cours des premières étapes du cycle de vie d’un produit, d’énormes économies de temps de travail se produisent. Comme vous faites plus d’un produit, cependant, les économies de temps de travail se produisent à un rythme plus lent. La relation entre les unités cumulatives produites et le temps nécessaire pour produire la dernière unité est appelée courbe d’apprentissage ou d’expérience.

FIGURE 3 Tracer le temps nécessaire pour produire une unité en fonction de la production cumulée.

Une courbe de puissance a les propriétés suivantes:

■■ Propriété 1 Si x augmente de 1%, y augmente d’environ b%.

■■ Propriété 2 Chaque fois que x double, y augmente du même pourcentage.

 

Supposons que la demande d’un produit en fonction du prix puisse être modélisée comme 1000 (Price) –2. La propriété 1 implique alors qu’une augmentation de 1% du prix réduira la demande (quel que soit le prix) de 2 pourcent. Dans ce cas, l’exposant b (sans signe négatif) est appelé l’élasticité. L’élasticité est traitée plus en détail au Article 83, «Estimation d’une courbe de demande». Dans ce contexte, regardez comment adapter une courbe de puissance aux données.

 

Au fur et à mesure que mon entreprise produit plus d’un produit, elle apprend à rendre le produit plus efficace. Puis-je modéliser la relation entre les unités produites et le temps nécessaire pour produire une unité?

Le fichier contient des données sur le nombre de télécopieurs produits et le coût unitaire (en dollars de 1982) de production du dernier télécopieur fabriqué chaque année. En 1983, par exemple, 70 000 télécopieurs ont été produits et le coût de production du dernier télécopieur était de 3 416 $. Les données sont illustrées à la figure 4.

 

FIGURE 4 Il s’agit des données utilisées pour tracer la courbe d’apprentissage pour la production de télécopieurs.

Étant donné qu’une courbe d’apprentissage tente de prédire le coût ou le temps nécessaire pour produire une unité à partir de données sur la production cumulée, le nombre cumulé de télécopieurs produits à la fin de chaque année est calculé dans la colonne C. Dans la cellule C4, reportez-vous à la cellule B4 pour afficher le nombre de télécopieurs produits en 1982. En copiant la formule SUM ($ B $ 4: B4) de C5 à C6: C10, vous pouvez calculer la production cumulée de télécopieurs pour la fin de chaque année.

Vous pouvez maintenant créer un nuage de points qui montre les unités cumulatives produites sur l’axe des x et le coût unitaire sur l’axe des y. Après avoir créé le graphique, vous cliquez sur l’un des données ta points (les points de données seront affichés en bleu), puis cliquez avec le bouton droit et cliquez sur Ajouter une ligne de tendance. Dans la boîte de dialogue Format de la courbe de tendance, sélectionnez Alimentation, puis activez les cases à cocher Afficher l’équation sur le graphique et Afficher la valeur R au carré sur le graphique. Avec ces paramètres, vous obtenez le graphique illustré à la figure 5. La courbe dessinée représente la courbe de puissance qui correspond le mieux aux données.

FIGURE 5 Il s’agit de la courbe d’apprentissage pour la production de télécopieurs.

La courbe de puissance prédit le coût de production d’un télécopieur comme suite:

Coût de production du télécopieur = 65 259 (unités cumulées produites) -. 2533 Notez que la plupart des points de données sont proches de la courbe de puissance ajustée et que la valeur R2 est proche de 1, indiquant que la courbe de puissance correspond bien aux données.

En copiant la formule 65259 * C4 ^ –0,2533 de la cellule E4 vers E5: E10, vous calculez le coût prévu pour le dernier télécopieur produit au cours de chaque année. (Le symbole carat [^], qui se trouve sur la touche 6, est utilisé pour élever un nombre à une puissance.)

Si vous estimez que 1 000 000 de télécopieurs ont été produits en 1989, après avoir calculé le total

Production 1989 (2 744 000) dans la cellule C11, vous pouvez copier l’équation de prévision dans la cellule E11 pour prédire que le dernier télécopieur produit en 1989 a coûté 1 526,85 $.

N’oubliez pas que la propriété 2 de la courbe de puissance indique que chaque fois que x double, y augmente du même pourcentage. En entrant deux fois la production cumulative de 1988 dans la cellule C12 et en copiant votre formule de prévision dans E10 dans la cellule E12, vous constaterez que le doublement des unités cumulatives produites réduit le coût prévu à 83,8% de sa valeur précédente (1516,83 / 1712,60). Pour cette raison, la courbe d’apprentissage actuelle est connue sous le nom de courbe d’apprentissage à 84%. Chaque fois que vous doublez les unités produites, la main-d’œuvre requise pour fabriquer un télécopieur diminue de 16,2%.

Si une courbe devient plus raide, la courbe exponentielle peut s’adapter aux données ainsi que la courbe de puissance. Une question naturelle est de savoir quelle courbe correspond le mieux aux données? Dans la plupart des cas, il est possible de répondre à cette question simplement en observant les courbes et en choisissant celle qui ressemble le mieux. Plus précisément, vous pouvez calculer la somme des erreurs quadratiques (SSE) pour chaque courbe (obtenue en additionnant le carré de la valeur de la courbe moins la valeur réelle pour chaque point de données) et choisir la courbe avec la plus petite SSE.

La courbe d’apprentissage a été découverte en 1936 à Wright-Patterson Air Force Base à Dayton, Ohio, quand il a été constaté que chaque fois que le nombre cumulé d’avions produits doublait, le temps nécessaire pour faire chuter chaque avion d’environ 15%.

Wikipedia donne les estimations de courbe d’apprentissage suivantes pour diverses industries:

■■ Aéronautique: 85%

■■ Construction navale: 80 à 85%

■■ Machines-outils complexes pour les nouveaux modèles: 75 à 85%

■■ Fabrication électronique répétitive: 90 à 95%

■■ Usinage répétitif ou opérations de poinçonnage: 90 à 95%

■■ Opérations électriques répétitives: 75 à 85%

■■ Opérations de soudage répétitives: 90%

■■ Matières premières: 93 à 96%

■■ Pièces achetées: 85 à 88%

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