La fonction MOYENNE.HARMONIQUE () d’Excel (en anglais HARMEAN ())

MOYENNE.HARMONIQUE (nombre1; [nombre2]; …)

 Définition.

Cette fonction renvoie la moyenne harmonique d’un ensemble de données. La moyenne harmonie est l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses.

Arguments

■ nombre1 (requis) et nombre2 (facultatif). Au moins un et jusqu’à 255 arguments (30 dans Excel 2003 et versions antérieures) pour lesquels vous souhaitez calculer la moyenne harmonique. Vous pouvez également utiliser un seul tableau ou une référence à un tableau plutôt que des arguments séparés par des virgules.

Contexte.

Les statistiques utilisent différentes moyennes, notamment la moyenne géométrique, arithmétique, carrée et harmonique. La moyenne harmonique est principalement utilisée pour calculer la moyenne des quotients et lorsque les valeurs observées sont définies comme des rapports ou des références. Un exemple typique est la moyenne des vitesses; autrement dit, le calcul du quotient distance / temps, en supposant que la distance est connue.

L’équation de la moyenne harmonique est :

Exemple.

Pour expliquer comment la moyenne harmonique est calculée, utilisez l’exemple de vitesse et de temps mentionné précédemment. Un cycliste parcourt 300 miles à travers les Alpes. La distance est divisée en cinq étapes, pour lesquelles il mesure la vitesse de chacune.
Maintenant, le cycliste veut calculer la vitesse moyenne à partir des vitesses atteintes dans chaque étape. Le résultat doit montrer la vitesse constante à laquelle il aurait pu parcourir la même distance en même temps (voir Figure).


Image. Calcul de la vitesse moyenne avec MOYENNE.HARMONIQUE().

Pour avoir une meilleure vue d’ensemble, il a également calculé la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique.
Pour savoir quel calcul donne le meilleur résultat, il transforme les résultats des moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques en mètres/secondes, puis calcule le temps qu’il faudrait pour parcourir les 300 miles à la vitesse moyenne (voir Figure ).

Image. Le temps en secondes pour parcourir 300 miles calculé pour les moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques.

Ce calcul confirme également que la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne harmonique et que la moyenne arithmétique est inférieure à la moyenne géométrique.
Ensuite, vous prouvez que la moyenne harmonique donne le meilleur résultat. Vous devez d’abord calculer la vitesse v en m/s pour les miles réels parcourus à la vitesse v pour chaque étape en une heure. À vitesse constante, le cycliste aurait pu parcourir 20 milles à l’heure lors de la première étape. Si vous divisez 20 milles par 3 600 secondes, vous obtenez la vitesse v (voir Figure).
La formule est :

 

Image. Calcul de la vitesse v en m/s à partir de l’étape d’origine.

Ensuite, vous utilisez le résultat de la vitesse en m/s dans la même formule pour t (temps) pour calculer le temps de chaque étape en secondes. La formule est :


La figure montre le résultat.

La somme des temps en secondes pour les jambes montre que la valeur est approximativement la même que la moyenne harmonique. La différence de trois secondes est basée sur les valeurs arrondies.
La comparaison du résultat réel de 50 417,94 secondes avec les résultats calculés des différentes moyennes montre que la moyenne harmonique donne le meilleur résultat.

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