■■ Qu’est-ce que la variable aléatoire lognormale?

■■ Y a-t-il une raison pour laquelle les cours des actions pourraient suivre une variable aléatoire lognormale?

■■ Comment puis-je modéliser le prix futur d’un stock en tant que variable aléatoire lognormale?

■■ Comment puis-je calculer la probabilité que le cours de l’action Microsoft dépasse 38 $ dans six mois?

■■ Comment puis-je calculer le prix médian de Microsoft en six mois?

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire lognormale?

Une variable aléatoire Y suit une variable aléatoire lognormale si ln Y suit une variable aléatoire normale. Lorsque vous utilisez les fonctions Excel LOI.LOGNORMALE.N et LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N, une variable aléatoire lognormale Y est caractérisé par deux paramètres: une moyenne Mu égale à la valeur attendue de ln Y et un écart-type Sigma égal à l’écart-type de ln Y.

Y a-t-il une raison pour laquelle les cours des actions pourraient suivre une variable aléatoire lognormale?

Soit Y le prix d’un stock n jours à partir de maintenant, P le prix du stock aujourd’hui et Xt le pourcentage de variation du prix du stock au jour t. Alors  . Parce que le logarithme d’ un produit est la somme des logarithmes, c’est vrai que En Supposons que les changements de prix à différents jours soient des variables aléatoires indépendantes. Rappelons l’article 69, «La variable aléatoire normale», que le théorème central limite implique que la somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes sera une variable aléatoire normale, même si les variables aléatoires individuelles ne sont pas normalement distribuées. Cela explique pourquoi ln Y est susceptible d’être une variable aléatoire normale, ce qui implique que Y est une variable aléatoire lognormale.

Comment puis-je modéliser le prix futur d’un stock en tant que variable aléatoire lognormale?

À la clôture des négociations le 9 août 2013, le prix des actions Microsoft était de 32,70 $. Supposons que vous souhaitiez modéliser le prix des actions Microsoft sur six mois en tant que variable aléatoire lognormale. Comment pouvez-vous estimer Mu et Sigma? Heureusement, les informations sont facilement disponibles sur Internet pour vous aider à modéliser le prix futur d’un stock. Le site Web Ivolatility.com fournit une estimation de la volatilité annuelle d’une action (appelez-la Sigma_). La volatilité annuelle est un substitut du risque ou de la variabilité d’un titre. À la clôture des négociations le 9 août 2013, vous pouvez trouver sur Ivolatilité.com que Microsoft a laissé entendre la volatilité était de 22,27%. Pour représenter Sigma_ sous forme décimale, vous écrivez Sigma_ = .2227. (La méthode utilisée pour calculer la volatilité implicite est abordée dans l’article 78, «Tarification des options d’achat d’actions».)

Dans la section Investissement de finance.yahoo.com, vous pouvez trouver l’opinion consensuelle des analystes pour le prix de Microsoft en un an, illustré à la figure 1.

FIGURE 1 Prévisions des analystes pour le cours de l’action Microsoft sur un an.

Soit S égal au cours de l’action d’aujourd’hui et S1 égal au prix moyen estimé sur une année. Ensuite, Mu_, une substitution pour le rendement moyen annuel du stock, peut être estimé par Mu_ = ln (S1 / S0).

Vous savez que S est égal à 32,70 $ et S1 est égal à 34,92 $. Par conséquent (comme calculé dans la cellule F7 du Fichier; voir figure 72-2), Mu_ = ln (34,92 / 32,70) = 0,06568.

FIGURE 2 Utilisation de lognormal pour modéliser le prix des actions Microsoft sur six mois.

Si vous souhaitez modéliser le prix des actions Microsoft t années à l’avenir, vous devez connaître Mut = Moyenne de ln du prix des actions Microsoft en t années et Sigmat = Écart type de ln du prix des actions Microsoft en t années. Il se trouve que:

Pendant six mois, t = 0,5 ans. Dans la cellule E9, Mu.5 a été calculé comme ln (32,7) +,5 * (. 06568) – .5 * (. 2227)² =3.507819.

Dans la cellule E10, vous calculez

Par conséquent, vous pouvez modéliser le prix de Microsoft en six mois comme une variable aléatoire lognormale avec Mu = 3,507819 et Sigma = 0,157473.

Comment puis-je calculer la probabilité que le cours de l’action Microsoft dépasse 38 $ dans six mois?

La fonction Excel 2013 LOI.LOGNORMALE.N (x, Mean, Sigma, Vrai_ou_1) calcule la probabilité qu’une variable aléatoire lognormale avec les paramètres Mean et Sigma soit inférieure ou égale à x. 

Changer Vrai (ou 1) en Faux (ou 0) renvoie la hauteur du pdf lognormal à x.

Dans les versions précédentes d’Excel, la fonction LOI.LOGNORMALE renvoie les mêmes résultats que LOI.LOGNORMALE.N. Dans la cellule F13, vous pouvez déterminer la probabilité que le prix d’une action de Microsoft dépasse 38 $. Ceci est calculé par 1 – La probabilité que le partage soit> = 38 $, utilisez donc la formule 1- LOI.LOGNORMALE.N (38, F9, F10, Vrai). Il y a 20,5% de chances qu’une part de Microsoft se vende plus de 38 $ en six mois.

Dans la cellule F14, vous pouvez déterminer la probabilité qu’une part de Microsoft se vende à un prix inférieur ou égal à 20 $ en six mois avec la formule LOI.LOGNORMALE.N (20, F9, F10, Vrai). Il y a moins d’un pour cent de chance qu’une part de Microsoft se vende 20 $ ou moins en six mois.

Comment puis-je calculer le prix médian de Microsoft en six mois?

La fonction LOGNORM.INV (p, Mu, Sigma) renvoie la valeur x d’une variable aléatoire lognormale avec les paramètres Mu et Sigma de telle sorte qu’il existe une probabilité p que la variable aléatoire lognormale soit inférieure ou égale à x.

Supposons que vous souhaitiez déterminer le prix médian des actions Microsoft dans six mois. C’est un prix x $ de telle sorte qu’il y a 50% de chances que le cours de l’action Microsoft dans six mois soit inférieur ou égal à x $. Dans la cellule F15, vous trouvez le prix médian sur six mois avec la formule LOGNORM.INV (0,5, F9, F10). Le prix médian en six mois est de 33,38 $.

Remarques

La célèbre formule de tarification des options Black-Scholes est discutée dans l’article 78. Elle suppose que le prix d’un titre suit une variable aléatoire lognormale.

Ces dernières années, il est devenu évident que pour de nombreux stocks, les prix futurs des actions prennent des valeurs extrêmement élevées ou basses plus souvent que ne le prévoit la variable aléatoire lognormale. Cela a amené les analystes à rechercher d’autres variables aléatoires à queue grasse qui peuvent être utilisées pour modéliser les cours futurs des actions. Pour plus de détails sur ce sujet, voir le livre à succès de Nicholas Taleb, The Black Swan (New York: Random House, 2010). En outre, une autre méthode de modélisation des cours des actions qui ne suppose pas que les cours des actions futurs suivent une variable aléatoire lognormale est discutée au chapitre 75, «Simulation des cours des actions et modélisation de la répartition des actifs».